Jürgen Gärtner, “Grenzwertsätze über große Abweichungen für eine gewisse Klasse stochastischer Prozesse”, Teor. Veroyatnost. i Primenen., 1976, Volume 21, Issue 1,Pages <nobr>95

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Grenzwertsätze über große Abweichungen für eine gewisse Klasse stochastischer Prozesse

Jürgen Gärtner

DDR

Abstract: In der vorliegenden Arbeit werden hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß der stochastische Prozeß der Gestalt $\eta_t^{\lambda}=\sqrt{\lambda}\,\eta(t/\lambda)$ für hinreichend kleine $\lambda>0$. Exponentialabschätzungen des Typs
$$ \mathbf P\{\rho_C(\varepsilon\eta^{\lambda},\varphi)<\delta\}>\exp\{-(S(\varphi)+h)/2\varepsilon^2\} $$
und
$$ \mathbf P\{\rho_C(\varepsilon\eta^{\lambda},\Phi(s))<\delta\}>\exp\{-(s-h)/2\varepsilon^2\} $$
genügt, wobei $\varepsilon=\varepsilon(\lambda)$ für $\lambda\downarrow 0$ gegen 0 konvergiert. Hierbei sind $\rho_C$ die sup-Norm, $\varphi\in C(0,1)$, $\displaystyle S(\varphi)=\int_0^1|\dot{\varphi}_t|^2\,dt$ und $\displaystyle \Phi(s)=\{\varphi\colon S(\varphi)\le s\}$. Hier bezeichnen $\delta$ und $h$ beliebig klein wählbare positive Konstanten. Die angeführten Abschätzungen ermöglichen es, das grobe asymptotische Verhalten von Wahrseheinlickeiten der Gestalt $\mathbf P\{\varepsilon\eta^{\lambda}\in A\}$ für $\lambda\downarrow 0$ zu bestimmen.

Received: 08.10.1974